Найдите наибольшее значение функции

Найдем производную функции:

$y'=(16\cos x-\frac{102}{\pi}x+41)'=16\cdot(-\sin x)- \frac{102}{\pi}+0=-16\sin x-\frac{102}{\pi}$

Найдем стационарные точки, приравняв производную к 0:

$y'=0\\\\ -16\sin x-\frac{102}{\pi}=0 \\ \\ -16\sin x=\frac{102}{\pi}\\ \\ \sin x=-\frac{102}{16\pi} \\ \\ \sin x=-\frac{51}{8\pi}$

Уравнение не имеет корней, так как $-1\leq \sin x\leq 1$ , а $-\frac{51}{8\pi} <-1$

Значит, стационарных точек нет

Вычислим значения функции в концах отрезка:

$y(-\frac{2\pi}{3})=16\cos (-\frac{2\pi}{3})-\frac{102}{\pi}\cdot(-\frac{2\pi}{3})+41=16\cos \frac{2\pi}{3}+68+41=\\ \\ =16\cos\frac{3\pi-\pi}{3} +109=16\cos(\frac{3\pi}{3}-\frac{\pi}{3})+109=16\cos(\pi-\frac{\pi}{3})+109=\\ \\ =16\cdot(-\cos\frac{\pi}{3})+109=-16\dot\cos\frac{\pi}{3}+109=-16\cdot\frac{1}{2}+109=-8+109=\\ \\ =101\\ \\ y(0)=16\cos0-\frac{102}{\pi}\cdot0+41=16\cdot1-0+41=16+41=57$

значит, $y_{max[-\frac{2\pi}{3};0]} =y(-\frac{2\pi}{3})=101$

Ответ: 101