Пусть имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В.
Биссектриса АЕ пересекает ВС в точке Е, ВЕ = 5, высота из В равна 7.
Примем ВС = х, АВ = у.
Тогда АС = √(х² + у²).
Свойство высоты из прямого угла:
7 = (АВ*ВС)/АС = ху/√(х² + у²). Отсюда ху = 7√(х² + у²).
Свойство биссектрисы:
5/у = (х - 5)/√(х² + у²).
Из этой пропорции получаем ху - 5у = 5√(х² + у²).
В этом уравнении заменим ху из первого свойства: ху = 7√(х² + у²).
7√(х² + у²) - 5у = 5√(х² + у²).
Отсюда получаем 2√(х² + у²) = 5у.
Возведём в квадрат:
4х² + 4у² = 25у² или 4х² = 21у², у² = 4х²/21, у = 2х/√21.
Возведём первое свойство в квадрат:
(х² * у²)/(х² + у²) = 49 и подставим у² = 4х²/21.
(х²*4х²)/(21*(х² + (4х²/21))) = 49.
4х^4/25x² = 49 или 4x² = 25*49.
Извлекаем корень: 2х = 5*7 = 35, отсюда х = 35/2 = 17,5.
Меньший катет - это АВ = у = 2х/√21 = 35/√21 = 5√21/3.
