Подробно решить неравенство:

0 голосов
28 просмотров

Подробно решить неравенство:
log_2(x-1)+log_2(x^2+\frac{1}{x-1})\leqslant 2log_2(\frac{x^2+x-1}{2})

Алгебра (94.9k баллов) | 28 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Пусть x^2=u, x-1=v

log_{2}v+log_{2}(u+\frac{1}{v})\leq 2log_{2}(\frac{u+v}{2})

log_{2}(uv+1)\leq log_{2}(\frac{(u+v)^2}{4})

image1 " alt=" 2>1 " align="absmiddle" class="latex-formula">, следовательно в силу монотонности логарифма:

uv+1\leq \frac{(u+v)^2}{4}

4uv+4\leq (u+v)^2

u^2+2uv+v^2-4uv\geq 4

u^2-2uv+v^2\geq 4

(u-v)^2\geq 4(u-v)^2-2^2\geq 0

(u-v+2)(u-v-2)\geq 0

Возвращаемся к замене x^2=u, x-1=v

(x^2-x+3)(x^2-x-1)\geq 0

x^2+x-1\geq 0

x\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2} или x\leq\frac{1-\sqrt{5}}{2}

Ограничения на логарифмы в переменных u, v:

image0; u+\frac{1}{v}>0; u+v>0 " alt=" v>0; u+\frac{1}{v}>0; u+v>0 " align="absmiddle" class="latex-formula">

Отсюда отбрасываем решения, получая:

x\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Ответ: x\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2}

(4.3k баллов)
0

И сразу ещё вопрос: как из произведения многочленов после возвращения к x вы получили сумму

оставил комментарий (94.9k баллов)
0

1 вопрос - если f(x) монотонна на [a;b], то f(a)f(b), если убывает. Если основание от 0 до 1, то f(a)>f(b), если >1, то f(a)

оставил комментарий (4.3k баллов)
0

...f(a)

оставил комментарий (4.3k баллов)
0

а по второму вопросу?

оставил комментарий (94.9k баллов)
0

формулы сокращённого умножения

оставил комментарий (4.3k баллов)
0

что это за формула такая? (может вы не поняли, но я имею ввиду переход от (x^2-x+3)(x^2-x-1)>=0 к x^2+x-1>=0

оставил комментарий (94.9k баллов)
0

ааа, первое уравнение не имеет корней, ветви вверх, значит всегда >0, делим на него

оставил комментарий (4.3k баллов)
0

а почему x^2-x-1 превратилось в x^2+x-1? Опечатка?

оставил комментарий (94.9k баллов)
0

да, вот где и ошибка, спасибо

оставил комментарий (4.3k баллов)
0

И вам спасибо

оставил комментарий (94.9k баллов)
Похожие задачи