Имеется 2n+1 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 2n из...

0 голосов
49 просмотров

Имеется 2n+1 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 2n из них можно так разложить на чашки весов, по n на каждую, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют одинаковый вес.


Алгебра (12 баллов) | 49 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Ставим 2н гирь. У нас остается одна. Значит, мы можем ее заменить на одну из гирь на весах и опять получим равновесие. Теперь мы снимаем любую другую гирю и ставим на ее место ту, которую снимали в предыдущем шаге. У нас опять равновесие.
Итого, мы доказали, что у нас 3 гири одинакового веса.
Теперь мы ввкидываем 2 из них, и получаем 2(n-1) + 1 гирь, и проделываем все то же самое столько раз, сколько потребуется. Каждый раз у нас будет оставаться одна гиря из 3 с каким-то весом, и мы бубем находить 2 новые с таким же весом. Очевидной индукциец приходим к выводу, что все гири весят поровну

(5.2k баллов)