5ⁿ при делении на 3 дает остатки: 2 при нечетной степени и 1 при четной.
2 * 2ⁿ при делении на 3 дает остатки: 1 при нечетной степени и 2 при четной.
Очевидно, что сумма остатков при любом n∈N будет кратна трем. Следовательно, и все выражение будет кратно 3 при любом n∈N.
Математически это можно написать так:
5ⁿ : 3 = 3х + 2/3 при n = 2k - 1, где k∈N
5ⁿ : 3 = 3х + 1/3 при n = 2k, где k∈N
и
2 * 2ⁿ : 3 = 3х + 1/3 при n = 2k - 1, где k∈N
2 * 2ⁿ : 3 = 3х + 2/3 при n = 2k, где k∈N
Тогда:
(5ⁿ + 2*2ⁿ) : 3 = 6х + 1 при n = 2k, где k∈N
(5ⁿ + 2*2ⁿ) : 3 = 6х + 1 при n = 2k - 1, где k∈N
Так как 6х + 1 является целым числом, то при любом n∈N исходная сумма будет кратна трем.