Помогите решить! Математика, решить ураавнения

Question

Дано ответов: 2

Единорожек34_zn · Answer 1 · 2018-09-14T03:13:46+0000

1) $\frac{x-2}{x^2-1}=\frac{1-2x}{x^2-1}$
Отметим ОДЗ. Знаменатель дробного выражения не должен быть равен нулю, т.к. на нуль делить нельзя.
x² - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1
Вернемся к уравнению.
Т.к. выражение x² - 1 ≠ 0, то имеем право домножить на него обе части уравнения после чего получим:
x - 2 = 1 - 2x
3x = 3 |:3
x = 1 ∉ ОДЗ
Следовательно, x∈∅
Ответ: нет решений.

2) $\sqrt[4]{25x^2-144}=x$
Отметим ОДЗ. Подкоренное выражение корня четной степени не должно быть меньше нуля, следственно и значение корневого выражения не меньше нуля.
{ 25x² - 144 ≥ 0
{ x ≥ 0

{ (5x - 12)(5x + 12) ≥ 0
{ x ≥ 0

{ x∈(-∞; -12/5]∪[12/5; ∞)
{ x ≥ 0

x ≥ 2,4

Вернемся к уравнению.
Возведем в четвертую степень обе части ур-я, получим биквадратное уравнение.
25x² - 144 = x⁴ ⇔ x⁴ - 25x² + 144 = 0
Решим уравнение методом замены переменной x² = t, причем t ≥ 0, т.к. любое число в квадрате отрицательным являться не будет.
t² - 25t + 144 = 0
D = 25² - 2² * 12² = 25² - 24² = (25 - 24)(25 + 24) = 49
$t_1=\frac{25+7}{2}=16$
$t_2=\frac{25-7}{2}=9$
Обратная замена x² = t
x² = 16 ⇒ x = ± 4
x² = 9 ⇒ x = ± 3
С учетом ОДЗ подходят лишь положительные из найденных корней.
Ответ: 3; 4

3) $9^x-4*3^x-45=0\\(3^x)^2-4*3^x-45=0$
Снова прибегнем к замене :)
$3^x=t$
Причем t > 0, т.к. показательная функция всегда принимает значения только больше нуля.
t² - 4t - 45 = 0
D/4 = 4 + 45 = 49
t₁ = 2 + 7 = 9
t₂ = 2 - 7 = -5 (не подходит, т.к. t > 0)
Обратная замена
$3^x=9\\3^x = 3^2\\x = 2$
Ответ: 2