При каких значениях а разница корней будет равна их произведению

По теореме Виета:

$\tt x_1+x_2=\frac{a+1}{2}$ (*)

$\tt x_1x_2=\frac{a-1}{2}$

Из условия разность корней равно произведению корней, имеем

$\tt x_1-x_2=x_1x_2\\ x_1-x_2=\frac{a-1}{2} ~~~~~~~~~~~~~~~(**)$

Сложив равенства (*) и (**), получим $\tt 2x_1=\frac{a+1}{2} +\frac{a-1}{2}$

$\tt 2x_1=a\\ x_1=\frac{a}{2}$

Тогда $\tt x_2=\frac{a+1}{2} -x_1=\frac{a+1}{2} -\frac{a}{2} =\frac{1}{2}$

Подставляя в произведение корней, получим

$\tt \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} =\frac{a-1}{2} \\ a=2(a-1)\\ a=2a-2\\ a=2$

Ответ: а=2.