Пусть сторона основания а, высота призмы Н и боковая сторона сечения L. диагональ основания d.
d = a√2.
L = √(a² + H²).
Из треугольника сечения имеем L = (a√2/2)/sin(α/2).
Приравняем √(a² + H²) = (a√2/2)/sin(α/2).
Возведём в квадрат: a² + H² = (a²*2/4)/sin²(α/2).
Приведём к общему знаменателю:
a²*2sin²(α/2) + 2H²sin²(α/2) = а².
Отсюда 2H²sin²(α/2) = a²-
a²*2sin²(α/2).
2H²sin²(α/2) = a²(1 -
2sin²(α/2)).
Разделим обе части на 2а²sin²(α/2).
H²/a² = (1 -
2sin²(α/2))/(2sin²(α/2)).
Отсюда получаем искомое соотношение высоты и стороны основания призмы:
H/a =√((1 - 2sin²(α/2))/(2sin²(α/2))).