Найти площадь трапеции, если ее диагонали равны 7 и 8 см, а основания 3 и 6 см.

Пусть DE=x, тогда FC=6-3-x=3-x, FD=x+3, a EC=6-x.

По теореме Пифагора (рассматривая треугольники ACE и DBF) получим уравнение:

$BD^2-FD^2=AC^2-EC^2;\\ 64-(x+3)^2=49-(6-x)^2;\\ 64-x^2-6x-9=49-36+12x-x^2;\\ 18x=42;\\ x=\frac{42}{18}=\frac{7}{3}.$

Тогда

$EC=6-\frac{7}{3}=\frac{11}{3},$

а высота трапеции будет равна

$H=BF=\sqrt{49-\frac{121}{9}}= \frac{8\sqrt{5}}{3},$

и по формуле площади получим

$S=\frac{AB+CD}{2}\cdot H=\frac{3+6}{2}\cdot \frac{8\sqrt{5}}{3}=12\sqrt{5}$