Две задачи из прошедшего ЕГЭ проф математика, под номером 16, которые почему-то нигде не решены и благополучно забыты, но довольно интересные.
#1. На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AP и CQ соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основпнию, проходит через середину отрезка PQ. б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если AB=AC=BC=3√2, CQ=AP=√2.
#2.Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1:3. б) Найдите длину отрезка PQ, заключённого внутри вписаннрй окружности треугольника ABC, если BC=4√19.
Если с пунктом а) в обеих задачах всё довольно просто, то пункт б) довольно сложный, как его решить компактно и быстро?