Мистер Фокс сделал любопытный автомат: если в него засунуть карточку с числом M, то...

Question

Мистер Фокс сделал любопытный автомат: если в него засунуть карточку с числом
M, то автомат выдаст такую же карточку, но с числом M+d, где d-— наибольший
делитель числа M, отличный от M. Полученную карточку можно снова засовывать в автомат.
Мистер Фокс выбрал число M, которое делится на 2, но не делится на 4, и сунул карточку с этим числом в автомат. Полученную карточку он снова сунул в автомат, и так далее. Когда Мистер Фокс устал, у него была карточка с число
3^200⋅M. Сколько операций сделал мистер Фокс со своим чудесным автоматом?
Помогите, пожалуйста

Answer 1

Посмотрим, как аппарат изменяет число на карточке:

Пусть t - наименьший делитель числа M, отличный от M, тогда d = M : t, значит, M + d = M : t * (t + 1).

Изначально число M делилось на 2, но не делилось на 4, значит, t₁ = 2. Посмотрим, что будет после этого:

M₁ : 2 * 3 = M₂, значит, t₂ = 3.

M₂ : 3 * 4 = M₃, значит, t₃ = t₄ = 2.

M₃ : 4 * 9 = M₅, значит, t₅ = 3.

M₅ : 3 * 4 = M₆, значит, t₆ = t₇ = 2

(И это циклится).

Посмотрим на то, как добавляются к числу множители 3:

Пусть U = M:2. Пусть на карточке было число (3^n * U * 2). Посмотрим, что с ним будет происходить:

1) (3^n * U * 2) : 2 * 3 = 3^(n+1) * U

2) 3^(n+1) * U : 3 * 4 = 3^n * U * 4

3) 3^n * U * 4 : 2 * 3 = (3^(n+1) * U * 2)

(И это тоже циклится).

Значит, за три действия M умножается на 3. Оно было умножено на 3 200 раз, значит, было проделано 600 операций. Ни до этого ни после этого число (3^200 * M) появиться не могло (смотрите последовательность действий для умножения на 3).

Ответ: 600 операций.

Comments

Cgfcb,j

---

Спасибо