В футбольном турнире участвовало n команд высшей лиги и 2n команд первой лиги. Каждая...

Question

82 просмотров

В футбольном турнире участвовало n команд высшей лиги и 2n команд первой лиги. Каждая команда сыграла ровно одну
игру с каждой другой командой. Отношение числа побед, одержанных командами первой
лиги, к числу побед, одержанных командами высшей лиги, равно 5:7. Найдите n, если известно, что ничьих в турнире не было.

Математика Shatirina1999_zn (113 баллов) 15 Март, 18 | 82 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Судя по задаче полагается то , что они играли не зависимо за какую именно .
Посчитаем сколько вообще было встреч , у команды первой лиги команд в 2 раза больше так как $2n$ .
Посчитаем отдельно каждую встречу внутри команд ,и между разными командами.
По первой лиги это число сочетаний
$C^{2}_{2n}=\frac{(2n)!}{2!(2n-2)!}=\frac{(2n-1)*2n}{2} \\$
По высшей лиги это число сочетаний
$C^2_{n}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{ n(n-1) }{2}$
а между собой очевидно
$2n^2$
в сумме
$2n^2+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{(2n-1)2n}{2}=\frac{9n^2-3n }{2}=\frac{3n(3n-1)}{2}$ встреч.
Если не было ничьи то очевидно одно из двух
1) либо команда проиграет
2) либо команда выиграет
Число выигрышей и проигрышей будет равна количеству сыгранных игр .
То есть если всего у команда $5x;7x$ побед
то $12x=\frac{3n(3n-1)}{2}$
пусть количество выигрышей команды первой лиги равна $y$ , то другой
$\frac{3n(3n-1)}{2}-y$
$\frac{y}{\frac{3n(3n-1)}{2}-y}=\frac{5}{7}\\ 14y=45n^2-15n-10y\\ 24y=45n^2-15n\\ 8y=15n^2-5n\\ y=\frac{5n(3n-1)}{8}\\$
что бы число делилось на 8 , очевидно что n либо само должно быть кратно 8 , либо $3n-1$ должно делится на 8 , подходит $n=3$
при нем все выполняется

Матов_zn (224k баллов) 15 Март, 18