Нужна помощь) Помогите решить этот чертов пример) Все никак не выходит)1 курс. Заранее...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Насчет второй функции более менее понятно. При $x\to 10$ можно сделать замену: х-10=t, тогда получим, что $t\to 0$ . Это бесконечно малая первого порядка.

Намного сложнее с первой функцией.

$\log x-1=\log x-\log 10=$

по свойству логарифмов $\log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}$

Значит
$\log x-\log 10=\log\frac{x}{10}=\log((\frac{x}{10}-1)+1)$

При   $x\to 10$ можно сделать замену: $(\frac{x}{10}-1)=t$ , тогда получим, что $t\to 0$ . Сама функция придет к виду

$=\log(t+1)$

По другому, используя свойства логарифмов

$=\log(t+1)=\frac{\ln(t+1)}{\ln 10}$ при   $t\to 0$ .

Заметим, что

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(t+1)}{t}=1.$

Значит, что используя эквивалентности при $t\to 0$

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(t+1)}{\ln 10}= \lim_{t \to 0} \frac {t}{\ln 10}=0$

Значит бесконечно малая того же порядка, что и вторая функция (первого порядка), но при стремлении к нулю будет коэффициент равный $\frac{1}{\ln 10}$

Ответ: первая функция является бесконечно малой первого порядка с коэффициентом при нуле равным   $\frac{1}{\ln 10}$ ,
вторая функция является бесконечно малой тоже первого порядка с коэффициентом при нуле равным 1.

bearcab_zn (114k баллов) 15 Март, 18