Докажите что при любом значении n 7^n-1 кратно 6; 2^4n-1 кратно 15; 15^n+6 делится 7

Question

Докажите что при любом значении n
7^n-1 кратно 6;
2^4n-1 кратно 15;
15^n+6 делится 7

Answer 1

....................................................................................................

---

---

Comments

добавил еще 2 способа решения подобных примеров ( без индукции)

---

Можете объяснить первым способом 15^n кратно 7; 3^3n кратно 13?

---

извините , не понял вопрос- 3^3n не кратно 13

---

2 способ не хуже : если перемножить все эти скобки , то получится сумма , каждое слагаемое (кроме последнего ) которой будет кратно 14 , а последнее равно 1 ( это если вы не поняли)

---

а в третьем использовано сравнение чисел по модулю 7 , написал на всякий случай ( самое простое решение , если вы понимаете о чем речь)

Answer 2

Проверяем утверждение для n = 1. 15^1 + 6 = 21 - кратно 7. Предполагаем, что 15^n + 6 кратно 7. Докажем, что в этом случае и 15^(n+1) + 6 кратно 7. 15^(n+1) + 6 = 15*15^n + 6 = 15*15^n + 15*6 - 15*6 + 6 = 15*(15^n + 6) - 84. (15^n + 6) кратно 7 (по предположению) , 84 кратно 7, поэтому и 15^(n+1) + 6 кратно 7, что и требовалось доказать.