Рассмотрим основание. В трапецию вписана окружность, значит суммы противоположных сторон равны, и трапеция равнобедренная:
AD + BC = AB + CD = 9 + 4 = 13 - полупериметр трапеции,
AD = BC = 13/2 = 6,5
Высота СН разбивает основание равнобедренной трапеции на отрезки ВН, равный полуразности оснований, и АН, равный полусумме оснований.
ВН = (9 - 4)/2 = 2,5
Из прямоугольного треугольника ВСН по теореме Пифагора:
CH = √(CB² - BH²) = √(6,5² - 2,5²) = √((6,5 - 2,5)(6,5 + 2,5)) = √(4 · 9) = 6
Sabcd = (AB + CD)/2 · CH = (9 + 4)/2 · 6 = 39
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты т.е. ОЕ = 3.
ОЕ⊥AD как радиус, проведенный в точку касания, ОЕ - проекция SE на плоскость основания, значит SE⊥AD по теореме о трех перпендикулярах. Тогда SE - высота боковой грани.
Из прямоугольного равнобедренного треугольника SOE (∠Е = 45°), его гипотенуза:
SE = OE√2 = 3√2
Так как высота пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, то высоты боковых граней равны. Пусть SE = h.
Sполн = Sabcd + Sбок
Sabcd = 39
Sбок = 1/2 AB·h + 1/2 BC·h + 1/2 CD·h = 1/2 AD·h =
=1/2 Pосн · h = 13 · 3√2 = 39√2
Sполн = 39 + 39√2 = 39 (1 + √2)