Обращение пропорции. Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac ab}={\frac cd}, то {\displaystyle \ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}} \ {\frac ba}={\frac dc}
Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac ab}={\frac cd}, то {\displaystyle \ ad=bc} \ ad=bc
Перестановка средних и крайних членов. Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac ab}={\frac cd}, то
{\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}} \ {\frac ac}={\frac bd} (перестановка средних членов пропорции),
{\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}} \ {\frac db}={\frac ca} (перестановка крайних членов пропорции).
Увеличение и уменьшение пропорции. Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac ab}={\frac cd}, то
{\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}} \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}} (увеличение пропорции),
{\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}} \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}} (уменьшение пропорции).
Составление пропорции сложением и вычитанием. Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac ab}={\frac cd}, то
{\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac ab}={\frac cd} (составление пропорции сложением),
{\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac ab}={\frac cd} (составление пропорции вычитанием).
История
Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс упростил определение, равенство пропорций {\displaystyle a:b=c:d} {\displaystyle a:b=c:d} им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений
{\displaystyle m\cdot a>n\cdot b} {\displaystyle m\cdot a>n\cdot b} и {\displaystyle m\cdot c>n\cdot d} {\displaystyle m\cdot c>n\cdot d},
{\displaystyle m\cdot a=n\cdot b} {\displaystyle m\cdot a=n\cdot b} и {\displaystyle m\cdot c=n\cdot d} {\displaystyle m\cdot c=n\cdot d},
{\displaystyle m\cdot a
для любой пары натуральных чисел {\displaystyle m} m и {\displaystyle n} n. Это определение даётся в «Началах» Евклида.
С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное Дедекиндом через сечения.
Связанные определения
Арифметическая пропорция
См. также: Среднее арифметическое
Равенство двух разностей {\displaystyle a-b=c-d} a-b=c-d иногда называют арифметической пропорцией[3].
Гармоническая пропорция
Основная статья: Золотое сечение
Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: {\displaystyle a:b=b:(a-b)} a:b=b:(a-b). В этом случае, разложение {\displaystyle a} a на сумму двух слагаемых {\displaystyle b} b и {\displaystyle a-b} a-b называется гармоническим делением или золотым сечением[4].
Задачи на тройное правило
В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.
Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].