ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА НУЖНО НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ

0 голосов
31 просмотров

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА
НУЖНО НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ


image

Алгебра (296 баллов) | 31 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Вспомним правила дифференцирования частного двух функций и производную тангенса

f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)}

Тогда:

\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
\medskip
\\
\left[\tan(x)\right]'=\left[\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right]'=\dfrac{(\sin(x))'\cos(x)-\sin(x)(\cos(x))'}{\cos^2(x)}=\medskip\\=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{1}{\cos^2(x)}

Перейдем к примерам

42)~f(x)=5\sqrt{x}-\tan^9(x) \Leftrightarrow f(x)=5x^{\frac{1}{2}}-\tan^9(x)
\medskip
\\
f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}-9\tan^8(x)\cdot\dfrac{1}{\cos^2(x)}\cdot 1=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}-\dfrac{9\tan^8(x)}{\cos^2(x)}
\medskip
\\
43)~f(x)=\dfrac{x^8-2x^7-x}{\tan(x)}
\medskip
\\
f'(x)=\dfrac{\left(x^8-2x^7-x\right)'\cdot\tan(x)-\left(\tan(x)\right)'\cdot\left(x^8-2x^7-x\right)}{\tan^2(x)}=\medskip\\=\dfrac{\tan(x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-\frac{x^8-2x^7-x}{\cos^2(x)}}{\tan^2(x)}

Приведем последний пример к более благородному виду

\dfrac{\tan(x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-\frac{x^8-2x^7-x}{\cos^2(x)}}{\tan^2(x)}=\dfrac{\frac{\sin(x)\cos(x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-x^8+2x^7+x}{\cos^2(x)}}{\tan^2(x)}=\medskip\\=\dfrac{\sin(x)\cos(x)\left(8x^7-14x^6-1)-x^8+2x^7+x}{\sin^2(x)}=\medskip\\=\dfrac{\sin(2x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-2x^8+4x^7+2x}{2\sin^2(x)}

Ответ.

42)~f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}-\dfrac{9\tan^8(x)}{\cos^2(x)} ;

43)~f'(x)=\dfrac{\sin(2x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-2x^8+4x^7+2x}{2\sin^2(x)}

(1.9k баллов)
0

Соответственно, tan(x)=tg(x). Просто другое его обозначение.