10 Класс. Всего 2 примера! Лучший поставлю за правильное решение, гарантирую!

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$sin18*sin54=\\ sin18*cos36=\\ \frac{2cos18*sin18*cos36}{2cos18}=\\ \frac{sin36*cos36}{2cos18}=\\ \frac{2sin36*cos36}{4cos18}=\\ \frac{sin72}{4cos18}\\ sin72=cos18\\ \frac{cos18}{4cos18}=\frac{1}{4}\\ \\$

Второе нестандартно решил , вспомним что По теореме Виета (для кубического уравнения) , сумма корней будет равна соотношению второго к первому коэффициента то есть
$ax^3+bx^2+cx+d=0\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$ , можно привести данное выражение к полиному , так что бы все эти слагаемые были корнями определенного уравнения .
$cos\frac{2\pi}{7}+cos\frac{4\pi}{7}+cos\frac{6\pi}{7}=\\$
заметим что
$cos(2\pi/7) = sin(3\pi/14) \\ cos(2\pi/7)=\sqrt{1-cos^2(3\pi/14)}\\ cos^2(2\pi/7)=1-cos^2(3\pi/14)\\ cos^2(2\pi/7)+cos^2(3\pi/14) = 1\\ cos(4\pi/7)+cos(3\pi/7) = 0\\$

но можно все свести к уравнению относительно $cos(\pi/7)$ , затем в конце просто поменять знак , так как нам нужен $cos(2\pi/7)$
$2cos^2(2\pi/7)-1=-cos(2\pi/7+\pi/7)\\ 2cos^2(2\pi/7)-1=sin(2\pi/7)*sin(\pi/7)-cos(2\pi/7)*cos(\pi/7)\\$
$2(2cos^2(2\pi/7)-1)^2-1=2sin^2(2\pi/7)*cos(\pi/7)-(2cos^2(\pi/7)-1)*\\ cos(\pi/7)\\ \\ cos(\pi/7)=t\\ 2(2t^2-1)^2-1=2(1-t^2)t-(2t^2-1)t\\ (t+1)(8t^3-4t^2-4t+1)=0$
на интересует второе уравнение
$8t^3-4t^2-4t+1=0$
В этом уравнение корнями будет число $-cos(2\pi/7)$
$-cos\frac{4\pi}{7}\\$
$-cos\frac{6\pi}{7}$ и как раньше было сказано по теореме Виета сумма корней будет отношением
$cos(2\pi/7)+cos(4\pi/7)+cos(6\pi/7)=-4/8=-1/2$

Матов_zn (224k баллов) 15 Март, 18