Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (свойство). То есть Sabm = Samc. По формуле площади треугольника:
Sabm=(1/2)*m*AB*Sinα; Samc=(1/2)*m*AC*Sinβ => AB = AC*(Sinβ/Sinα). (1) С другой стороны Sabc = (1/2)AB*AC*Sin(α+β). Половина этой площади равна площади треугольника АМС. То есть (1/4)AB*AC*Sin(α+β)=(1/2)*m*AC*Sinβ . Подставим в это равенство значение (1):
(1/4)AC*(Sinβ/Sinα)*AC*Sin(α+β)=(1/2)*m*AC*Sinβ . Или
(1/4)*(Sinβ/Sinα)*AC*Sin(α+β)=(1/2)*m*Sinβ . Отсюда
АС = (m*Sinβ*4*Sinα)/(2Sinβ*Sin(α+β) = 2m*Sinα/(Sinβ*Sin(α+β).