Может кто встречал такие задания? или подобные? олимпиада 10-11 класс Сумма...

Сразу говорю что здесь такие задачи вставлять нельзя, но это не конкретная
(не с реальной) олимпиадной задачи, как я понял , думаю можно это ПОНИМАТЬ КАК домашняя работа
можно поступить оценкой
$a+b+c+d+e+f=6\\ ab+bc+cd+de+ef+fa=b(a+c)+d(c+e)+f(e+a)\\\\ b(a+c)+d(c+e)+f(e+a) \leq b(a+c+e)+d(c+e+a)+f(e+a+c)\\ \\$

теперь поступить так , по неравенству между средними , а конкретно между средним геометрическом и арифметическом имеем
$\sqrt{(b+d+f)(a+c+e)} \leq \frac{(b+d+f)+(a+c+e)}{2} \leq \frac{6}{2}=3\\ \\(max) ab+bc+cd+de+ef+af=9$
Ответ 9