1) Дан треугольник АВС, в нем проведены медианы АА₁ и СС₁
Требуется доказать, что площади треугольников АВА₁ и СВС₁ равны.
Известно, что медианы делят треугольник на равновеликие треугольники, т .е. на треугольники с равной площадью.
( Из формулы площади треугольника выведена эта теорема).
Медиана АА₁ делит треугольник на два равновеликих.
Следовательно, площадь треугольника АВА₁ равна половине площади треугольника АВС.
Медиана СС₁ делит треугольник АВС на две половины с равной площадью. Следовательно, площадь треугольника СВС₁ равна половине площади треугольника АВС.
Площади каждого из треугольников АВА₁ и СВС₁ равны половине площади треугольника АВС, следовательно, они равновелики, что и требовалось доказать. ----------------
2) Будем считать, что четырехугольник АВСД - прямоугольный.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
Пусть сторона АВ=а
АД=b
S(АВСД)=ab
Площадь треугольника АFM равна АF*AM:2
По условию задачи
АF=2/3 AB=2а/3
AM=1/3 AД=b/3
S(AFM)=(2a/3)*(b/3):2=ab/9
S(BENДC)= S ABCД - S (AЕN)
S (AЕN)= AE*AN:2=(а/3)*(2b/3):2==ab/9
S(BENДC)=ab-ab/9= 8ab/9
S(BENДC)=8/9 от S, т.е. 8S:9