Объясните подробно, пожалуйста, как это доказывается: (n-1)! + n! + (n+1)! = (n+1)^2...

Question

Объясните подробно, пожалуйста, как это доказывается: (n-1)! + n! + (n+1)! = (n+1)^2 (n-1)!

Answer 1

(n-1)! + n! + (n+1)! = (n+1)²(n-1)!
доказывается это , исходя из определения факториала
(n-1)!=1•2•3•...(n-2)•(n-1)
n!=[1•2•3•...(n-2)•(n-1)]•n=(n-1)!•n
(n+1)!=[1•2•3•...(n-2)•(n-1)]•n•(n+1)=
=(n+1)•n•(n-1)!=(n²+n)•(n-1)!

поэтому
(n-1)! + n! + (n+1)! =
=(n-1)!+n•(n-1)!+
+(n²+n)•(n-1)!=

=(1+n+n²+n)(n-1)!=
=(n²+2n+1)(n-1)!=
=(n+1)²(n-1)!