![M=2x^2=3y^3,M\in \mathbb{N}\Rightarrow x,y\in \mathbb{N}\\y^3=\frac{2}{3}\cdot x^2\\\\y=\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}](https://tex.z-dn.net/?f=M%3D2x%5E2%3D3y%5E3%2CM%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5CRightarrow%20x%2Cy%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5C%5Cy%5E3%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccdot%20x%5E2%5C%5C%5C%5Cy%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B2x%5E2%7D%7B3%7D%7D "M=2x^2=3y^3,M\in \mathbb{N}\Rightarrow x,y\in \mathbb{N}\\y^3=\frac{2}{3}\cdot x^2\\\\y=\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}")
Чтобы "у" был натуральным числом, надо чтобы
![\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}\in \mathbb{N}.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B2x%5E2%7D%7B3%7D%7D%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D. "\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}\in \mathbb{N}.")
Таким образом 2x²/3 должно раскладываться на произведение простых чисел, которые будут в кубе и наименьшими т.к. M - наименьшее, а значит и x,y - наименьшие.
2 уже есть, а "x" - натуральное, поэтому "х" должно быть произведением какого-то числа и 2 т.к. 2·2²=2³, да можно было x=2⁴, тогда 2·2⁸=2⁹, но нас интересует наименьшее. Так же нам надо избавиться от 3 в знаменателе, поэтому "х" должно быть произведением какого-то числа на 3ⁿ, при этом n - наименьшее, значит n=2 т.к. (3²)²:3=3³
Получается x=2·3² и подкоренное выражение 2³·3³, значит "у" будет натуральным.
На всякий случай проверим и найдём M.
![\begin{Bmatrix}y=\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}\\x=2\cdot 3^2\end{matrix};y=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=6\\M=3\cdot 6^3=3\cdot 216=648\\M=2\cdot 18^2=2\cdot 324=648.\\\\Otvet\!\!:\;648.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7BBmatrix%7Dy%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B2x%5E2%7D%7B3%7D%7D%5C%5Cx%3D2%5Ccdot%203%5E2%5Cend%7Bmatrix%7D%3By%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%5E3%5Ccdot%203%5E3%7D%3D6%5C%5CM%3D3%5Ccdot%206%5E3%3D3%5Ccdot%20216%3D648%5C%5CM%3D2%5Ccdot%2018%5E2%3D2%5Ccdot%20324%3D648.%5C%5C%5C%5COtvet%5C%21%5C%21%3A%5C%3B648. "\begin{Bmatrix}y=\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}\\x=2\cdot 3^2\end{matrix};y=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=6\\M=3\cdot 6^3=3\cdot 216=648\\M=2\cdot 18^2=2\cdot 324=648.\\\\Otvet\!\!:\;648.")