«ПеремЕШивать» либо «мЕШать» проверяют буквы «Е», «Ш» в слове «вперемешку». «Пере» - приставка, в которой всегда гласные «Е».
Лучше всего проверять на правописание словами, от которых образованы словоформы. В нашем случае, слово-первоисточник – «мешать». Если данным способом невозможно выявить правильность написания, то рекомендуется просклонять по падежам и по числам проверочное слово.