Общее решение уравнения y=y1+y2, где y1 - общее решение однородного уравнения y"+2*y'+2*y=0, y2 - частное решение данного неоднородного уравнения.
1. Найдём y1. Составляем характеристическое уравнение k²+2*k+2*k=0. Оно имеет комплексные сопряжённые корни k1=-1+i, k2=-1-i, где i=√(-1). Таким образом, корни имеют вид k=α+-i*β, а тогда y1=e^(α*x)*[C1*cos(β*x)+C2*sin(β*x)]=e^(-x)*[C1*cos(x)+C2*sin(x)].
2. Найдём y2. Запишем правую часть уравнения в виде e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=0, n=0, P1(x)=2*x²+8*x+6, P2(x)=0. Так как комплексные числа m+-i*n=0+-i*0 не являются корнями характеристического уравнения, то y2 имеет вид y2=e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*cos(n*x)]=R1(x), где R1(x) - многочлен, степень которого равна старшей из степеней многочленов P1(x) и P2(x). А так как эта старшая степень равна 2, то R1(x)=A*x²+B*x+C, где A,B,C - неизвестные пока коэффициенты. Дважды дифференцируя выражение y2=R1(x), находим y2'=2*A*x+B, y2"=2*A. Подставляя y2,y2' и y2" в исходное уравнение, приходим к уравнению A*x²+x*(2*A+B)+(A+B+C)=x²+4*x+3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:
A=1
2*A+B=4
A+B+C=3
Решая её, находим A=1, B=2, C=0. Значит, y2=x²+2*x.
3. Общее решение уравнения y=y1+y2=C1*e^(-x)*cos(x)+C2*e^(-x)*sin(x)+x²+2*x. Дифференцируя y, находим y'=-C1*e^(-x)*cos(x)-C1*e^(-x)*sin(x)-C2*e^(-x)*sin(x)+C2*e^(-x)*cos(x)+2*x+2.
4. Используя начальные условия, получаем систему уравнений:
C1=1
-C1+C2+2=4
Решая её, находим C1=1, C2=3. Значит, искомое решение задачи Коши y3 имеет вид: y3=e^(-x)*cos(x)+3*e^(-x)*sin(x)+x²+2*x. Подставляя y3 в исходное уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяет как ему, так и начальным условиям.
Ответ: y=e^(-x)*[cos(x)+3*sin(x)]+x²+2*x.