Помогите с решением задачи. Даны пять точек с целочисленными координатами. Докажите, что...

Question

Помогите с решением задачи. Даны пять точек с целочисленными координатами. Докажите, что есть отрезок с концами в двух из каких-то из этих точек, на котором лежит ещё одна (помимо концов) точка с целыми координатами.

Comments

скольки мерный мир? плоскость или 3Д?

---

если 3Д то можно доказать обратное, взять квадрат 1*1 и 4 точки по углам, а пятую на высоте 1 над одним из углов, тогда ни на каком из отрезков не будет точек с целочисленными координатами. А на плоскости не знаю как доказывать

Answer 1

доказательство.

целые числа бывают чётные и нечётные

тогда точка Т (х;у) может принадлежать к одному из 4х типов:

1) (ч,ч)

2) (ч,н)

3) (н,н)

4) (н,ч)

поскольку точек у нас 5, а типов всего 4, то по-любому среди них будут 2 точки одного типа. Между ними проведём отрезок.

Теперь заметим, что сумма двух чётных чисел - число чётное, и сумма двух нечётных тоже чётное.

Вспомним формулу для середины отрезка: (х₁+х₂)/2;(у₁+у₂)/2

Чётное число делим пополам - получится целое, т.е. координаты середины нашего отрезка - тоже целые! Что и требовалось доказать;)