Нет, не может. Чтобы доказать это пойдём от обратного. Допустим, такое число есть. 2013 делится на 3 (по признаку делимости). Если 2013 - квадрат некого числа, то это число должно делиться и на 3², то есть на 9. Получили, что 2013 должно делиться на 9, а следовательно, на 9 должна делиться и сумма его цифр, а 2013 не делится на 9. То есть мы получили противоречие, следовательно, такого числа нет.