Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см2.Сумма площадей квадратов, построенных на...

Дано: прямоугольный Δ

a; b - катеты

S=90 см²

S₁+S₂ = а²+b² =369 см₂

a-? b-?

Решение

1) Первое уравнение получаем из условия:

а²+b² = 369

2) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, получаем второе уравнение:

ab=90*2=>ab=180" alt="\frac{ab}{2}=90=>ab=90*2=>ab=180" align="absmiddle" class="latex-formula">

3) Решаем систему: (a>0; b>0)

$\left \{ {{a^2+b^2=369} \atop{ab=180}} \right.$

$b=\frac{180}{a}$

$a^2+(\frac{180}{a})^2=369$

a≠0

$a^4+32400=369a^2$

$a^4-369a^2+32400=0$

Замена: а²=t ( t > 0)

Решаем уравнение:

t² - 369t + 32400 = 0

D = 369² - 4·1·32400 = 136161 - 129600 = 6561 = 81²

t₁ = (369-81)/2 = 144

t₂ = (369+81)/2 = 225

Обратная замена:

При t₁ = 144 => a² = 144 => a₁ = - √144 = - 12 < 0

a₂ = √144 = 12 > 0

При t₂ = 225 => a² = 225 => a₃ = - √225 = - 15 < 0

a₄ = √225 = 15 > 0

Зная а₁=12 и а₂ = 15, найдем b

b₁ = 180/12 = 15

b₂ = 180/15 = 12

Получаем два решения взаимозаменяемых:

а=12; b=15

а=15; b=12

Ответ: 12 см; 15 см - катеты

Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см2.Сумма площадей квадратов, построенных **...