Вася и Петя играют в следующую игру. Они по очереди берут яблоки из корзины, не меньше 1...

0 голосов
109 просмотров

Вася и Петя играют в следующую игру. Они по очереди берут яблоки из корзины, не меньше 1 и не более 7 каждый раз. На каждом ходу игроку нельзя брать столько же яблок, сколько только что взял соперник (по количеству). Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. В начале игры в корзине было 15 яблок. Первым ходит Вася. Сколько яблок он должен взять, делая первый ход, чтобы гарантировано выиграть игру?


Алгебра (12 баллов) | 109 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Обозначим через S(n) сумму цифр числа n.

  Алгоритм. Первым ходом Вася называет 1. Если число x оканчивается на k нулей, то  S(x – 1) = 2011 + 9k.  Таким образом Вася узнаёт положение самой правой ненулевой цифры в x. Положим  x1 = x – 10k.  Вася знает, что  S(x1) = 2011.  Подобрав на втором ходу число a так, что  x – a = x1 – 1,  Вася узнаёт сколько нулей в конце x1. Пусть их m. Положим  x2 = x1 – 10m.  Тогда  S(x2) = 2010.  Подобрав на третьем ходу число a так, что 
x – a = x2 – 1,  Вася узнаёт сколько нулей в конце x2, и т. д. После 2012 хода он получит  S(x2012) = 0,  тем самым найдя x.

  Оценка. Пусть Петя признался, что в записи x есть только нули и единицы, то есть  x = 10k2012 + 10k2011 + ... + 10k1,  где  k2012 > k2011 > ... > k1.  При этом задача Васи сводится к выяснению значений показателей ki. Пусть Васе не везёт, и на i-м ходу оказывается, что 10ki больше предъявленного Васей числа a. Тогда, независимо от значений k2012, ...,  ki+1,  S(x – a) = S(10ki – a) + (2012 – i).  Тем самым, о значениях  k2012, ..., ki+1  ничего не известно (кроме того, что все они больше ki). В частности, после 2011 ходов может остаться неизвестным точное значение k2012.


Ответ 2012ходов

(22 баллов)