Найдите все пары целых чисел x и y таких, что x^2=y^2+2y+6

Выделим полный квадрат:

$x^2=(y^2+2y+1)+5\\x^2=(y+1)^2+5\\x^2-(y+1)^2=5$

Раскладываем левую часть по формуле разности квадратов:

$(x-(y+1))(x+(y+1))=5\\(x-y-1)(x+y+1)=5$

5 можно разложить в произведение двух сомножителей следующими способами:

$5=5\cdot1=1\cdot5=(-1)\cdot(-5)=(-5)\cdot(-1)$

Это позволяет заменить рассмотрение уравнение на совокупность из четырёх систем:

1) x - y - 1 = 5, x + y + 1 = 1

Складываем и вычитаем уравнения:

2x = 5 + 1, 2y + 2 = 1 - 5

x = 3, y = -3

2) x - y - 1 = 1, x + y + 1 = 5

2x = 1 + 5, 2y + 2 = 5 - 1

x = 3, y = 1

3) x - y - 1 = -1, x + y + 1 = -5

2x = -1 - 5, 2y + 2 = -5 + 1

x = -3, y = -3

4) x - y - 1 = -5, x + y + 1 = -1

2x = -5 - 1, 2y + 2 = -1 + 5

x = -3, y = 1

Этот же ответ можно было получить из первого решения и того, что если (x, y) – решение, то и (-x, y) и (x, -2 - x) – решение.

Ответ. (3, -3), (3, 1), (-3, -3), (-3, 1)