Тригонометрическое уравнение

0 голосов
10 просмотров

Тригонометрическое уравнение


image

Математика (934 баллов) | 10 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

\cos^2x-\dfrac{1}{2}\sin 2x+\cos x=\sin x\medskip\\\cos^2x-\sin x\cos x+\cos x-\sin x=0\medskip\\\cos x\left(\cos x-\sin x\right)+\left(\cos x-\sin x\right)=0\medskip\\\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x+1\right)=0\medskip\\\left[\begin{gathered}\cos x-\sin x=0\\\cos x+1=0\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}\mathrm{tg}~x=1\\\cos x=-1\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,~k\in\mathbb{Z}\\x=\pi +2\pi m,~m\in\mathbb{Z}\end{gathered}

Ответ. x\in\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,~k\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{\pi+2\pi m,~m\in\mathbb{Z}\right\}

(1.9k баллов)
0

Спасибо!

0

А как получилось, что cosx-sinx=0 перешло в tgx=1?

0

Переносим sin(x) в правую часть, получим cos(x)=sin(x). Это однородное уравнение первой степени, решаемое делением обеих частей на sin(x). Выполнить данное действие можно, потому как при sin(x)=0 будем получать cos(x)=1 или cos(x)=-1, что не будут являться корнями уравнения, т.е. потери корней не произойдет.

0

Спасибо!

0

Извиняюсь, в объяснении - делить, конечно, будем на cos(x). Дальше рассуждения такие же, только при cos(x)=0 будем иметь sin(x)=1 или sin(x)=-1.