X^2+корень(x^2+2x+8)=12-2x

Обозначим $x^2+2x+8=t$ . Делаем замену переменной:

$\sqrt{x^2+2x+8}=20-(x^2+2x+8)\\\sqrt t=20-t$

Уравнение имеет решения, только если правая часть неравенства неотрицательна, $t\leqslant 20$ . При таких t обе части уравнения неотрицательны, можно возмести в квадрат, при этом подкоренное выражение автоматически неотрицательно:

$(\sqrt t)^2=(20-t)^2\\t=(20-t)^2\geqslant0\\t^2-40t+400=t\\t^2-41t+400=0$

Получилось квадратное уравнение. Его можно решить, использовав теорему Виета или вычислив дискриминант.

$D=41^2-4\cdot400=1681-1600=81=9^2\\t=\dfrac{41\pm9}{2}$

Итак, t = 16 или t = 25. Второе решение не удовлетворяет полученному выше неравенству, используем первое решение:

$x^2+2x+8=16\\x^2+2x+1=9\\(x+1)^2=3^2\\x=-1\pm3\\x\in\{-4,2\}$

Ответ. x = -4 или x = 2.