Доказать, что n во 2й степени + 8 кратно 3, при условии, что целое число n не кратно 3

Question

Доказать, что n во 2й степени + 8 кратно 3, при условии, что целое число n не кратно 3

Answer 1

Если число n не кратно 3, то его остаток от деления на 3 равен 1 или 2.

1) n = 3k + 1

n^2 + 8 = (3k+1)^2 + 8 = 9k^2 + 6k + 1 + 8 = 3k^2 + 6k + 9 = 3(3k^2+2k+3)

2) n = 3k + 2

n^2 + 8 = (3k+2)^2 + 8 = 9k^2 + 12k + 4 + 8 = 9k^2 + 12k + 12 = 3(3k^2+4k+4)

В обоих случаях число делится на 3.