(3x-5y)dx + (x+y)dy = 0как решить это ДУ?

Question

Дан 1 ответ

emerald0101_zn · Answer 1 · 2018-03-15T01:58:08+0000

$(3x-5y)dx + (x+y)dy = 0;$ Выразим $y'$ :
$\frac{dy}{dx}=- \frac{3x-5y}{x+y}; y'=\frac{5y-3x}{x+y};$ Делим числитель и знаменатель дроби на х. $y'= \frac{5 \frac{y}{x} -3}{1+ \frac{y}{x}};$
Уравнение является однородным, выполняем замену $\frac{y}{x}=u;y'= \frac{5 u-3}{1+ u};$ $\frac{y}{x}=u;y=xu;y'=u'x+u;$
$u'x+u= \frac{5 u-3}{1+ u};$
$u'x= \frac{5 u-3}{1+ u}-u;$
$\frac{du}{dx}x= \frac{5 u-3-u-u^2}{1+ u};$
$\frac{du}{dx}x= \frac{4 u-3-u^2}{1+ u};$
Это уравнение с разделяющими переменными.
$\frac{1+ u}{-u^2+4u-3}du= \frac{1}{x}dx;$
$-\frac{1+ u}{(u-1)(u-3)}du= \frac{1}{x}dx;$
Интегрируем $-\int\limits {\frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}} \, du = \int\limits { \frac{1}{x}} \, dx$ Первый интеграл находим методом неопределенных коэффициентов
$\frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}= \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u-3}= \frac{Au-3A+Bu-B}{(u-1)(u-3)}= \frac{(A+B)u-3A-B}{(u-1)(u-3)};$
$\left \{ {{A+B=1} \atop {-3A-B=1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=-1} \atop {B=2}} \right.$
$\frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}=-\frac{1}{u-1} + \frac{2}{u-3};$
$-\int\limits {\frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}} \, du= -\int\limits {(\frac{1}{u-1} + \frac{2}{u-3})} \, du=$
$-\int\limits {\frac{1}{u-1} } \, du+\int\limits {\frac{2}{u-3}} \, du=-ln|u-1|+2ln|u-3|;$
$\int\limits { \frac{1}{x}} \, dx =ln|x|+lnC;$
$-ln|u-1|+2ln|u-3|=ln|x|+lnC;$
$ln\frac{|u-3|^2}{|u-1|}=ln|Cx|;$
$\frac{|u-3|^2}{|u-1|}=|Cx|;$
$\frac{|\frac{y}{x}-3|^2}{|\frac{y}{x}-1|}=|Cx|$
Это есть общий интеграл данного уравнения.
Вот как-то так.