Вычислить предел, без применения правила Лопиталя. Почему предел равен нулю?

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}-1 }= \lim_{\frac{1}{x}\to 0} \frac{x}{e^{x}-1 }= \lim_{\frac{1}{x}\to 0} (\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}}*\frac{1}{(e^{x}-1)*(e^{\frac{1}{x}}-1)} )=$

используя следствия замечательных пределов получим

$= \lim_{\frac{1}{x}\to 0}\frac{1}{(e^{x}-1)*(e^{\frac{1}{x}}-1)} = \lim_{\frac{1}{x}\to 0} \frac{1}{e-e^{x}-e^{\frac{1}{x}}+1 } =\frac{1}{e-\infty} =0$