1. Современный человек значительную часть своего свободного времени проводит в Интернете, | не всегда используя его для поиска информации или обучения |. - обособленное обстоятельство (_._._), выраженное деепричастным оборотом
2. | Опаздывая на автобус |, мы бежали сломя голову. - обособленное обстоятельство (_._._), выраженное деепричастным оборотом. Бежать сломя голову → фразеологизм.
3. Интернет,| являясь безграничным источником информации |, помогает получать необходимые знания. - обособленное обстоятельство (_._._), выраженное деепричастным оборотом/
4. Время в Интернете можно провести с пользой,| осваивая иностранные языки |. - обособленное обстоятельство (_._._), выраженное деепричастным оборотом
5. В Интернет можно купить книгу, сидя дома и при этом экономя деньги. - обособленные обстоятельства (_._._), выраженные деепричастными оборотами, соединёнными союзом И.
6. Над этой заметкой я трудился не покладая рук. - трудиться не покладая рук → фразеологизм