Решить уравнение: (x-6)^6+(x-4)^6=64

Question

Решить уравнение: (x-6)^6+(x-4)^6=64

Comments

отметил.

---

Только 2 решения возможно в задачах?

---

Удалил второе решение по просьбе его автора. Ждем теперь красивое алгебраическое решение

---

Ждём!

---

Я время упустил, ночь была

---

Суть в том, что заменяем сначала y=x-5 и получаем сумму (y-1)^6 + (y+1)^6 = 64. Потом раскладывать на Скобки как сумму кубов и получаем одно квадратное уравнение и одно биквадратное.

---

Квадратное имеет корни y1=-1, y2=1, отсюда x1=4; x2=6. А биквадратное корней не имеет.

---

Если я сейчас поставлю эту задачу, оформите решение?

---

Могу оформить

Answer 1

Рассмотрим функцию уравнение принимает вид f(x)=64. Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

Найдем нули производной:

Подставив в производную x=4<5, убеждаемся, что она отрицательна, то есть функция слева от 5 убывает. Подставив в производную x=6>5, убеждаемся, что она положительна, то есть функция справа от 5 возрастает. Следовательно, слева от 5 уравнение имеет не больше одного решения, точно так же справа от 5 уравнение имеет не больше одного решения. Эти решения легко угадываются: x=4 и x=6.

Ответ:

Замечание. Альтернативный способ решения - сделать замену x-5=t, после чего возвести (t-1) и (t+1) в шестую степень.