Найти производную функции, можно пожалуйста подобно.

Докажем, что $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$

Дадим к $x$ приращение $\Delta x$ , тогда $f$ и $g$ получат приращения $\Delta f$ и $\Delta g$ соответственно. Пусть при $\Delta x \to 0$ $\Delta g \to 0$ .

Тогда, имеет место $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta g} \frac{\Delta g}{\Delta x}$ .

Переходя к пределам при $\Delta x \to 0$ , получим: $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (\frac{\Delta f}{\Delta g} \frac{\Delta g}{\Delta x}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{ \Delta g}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta g}{\Delta x}$

или, что эквивалентно: $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ .

По индукции можно доказать что $(f_1(f_2(f_3(...f_n(x)...))))' = f_1'(f_2(f_3(...f_n(x)...)))f_2'(f_3(...f_n(x)...))...f_n'(x)$ .

Тогда, исходя из доказанного утверждения, найдём производную:

$(arctg(\frac{1}{\sqrt[3]{cos(4x)}}))' = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt[3]{cos(4x)^2}}} \frac{-1}{3cos(4x)\sqrt[3]{cos(4x)}} (-4sin(4x))$