Долг и обязанность можно сравнить с нормами морали и нормами закона.
Мы все знаем правило: в общественном транспорте нужно уступать места пассажирам с детьми, беременным женщинам и пожилым людям. Это норма морали. В идеале, ты должен это сделать, но не обязан. Это долг. Придерживаться долгу НЕ обязательно. За это тебя не будут наказывать, но тебе самому может стать стыдно.
А ещё мы знаем, что нельзя, например, воровать. Это норма закона. Конечно, если ты можешь её нарушить, если очень захочешь, но в таком случае тебя накажут по всей строгости закона. Поэтому если у тебя есть какая-то обязанность, то ты должен её выполнять при ЛЮБЫХ обстоятельствах, даже если не очень хочешь.
Так что если говорить короче, то долг - это то, что ты должен сделать, но не обязан; а обязанность - это то, что ты обязан делать при любых обстоятельствах.