task/30068633 Найти все значения параметра a , при которых произведения корней уравнения log₂² x -(2a²- a)*log₂ x+1 -2a =0 равна 8.
решение ОДЗ : x > 0 замена : log₂ x = t ; t²- a(2a - 1)*t - (2a -1) =0 ⇔
x₁*x₂ =8 ⇒(2^t₁)*(2^t₂) = 8 ⇔2^(t₁ + t₂)=2³ ⇒ t₁ + t₂ = 3, но t₁ + t₂ =2a² - a
2a² - a = 3 ⇔ 2a² - a - 3 =0 ⇒ [ a = - 1 ; a = 3/2 .
1) a = - 1 . t² - 3t + 3 =0 D₁ = 3² - 4*3 = - 3 < 0 нет решений 2) a = 1,5 . t² - 3t - 2 = 0 D₂ = 3² - 4*(-2) = 17 > 0 .
ответ : 1,5 .
P.S. t²- a(2a -1)*t - (2a -1) =0 ; D =a²(2a - 1)²+ 4(2a -1) = (2a -1) (2a³ - a² + 4) .
1₁ ) a = -1 ⇒ D₁ = ( 2*(-1) -1 )( 2*(-1)³ - (-1)² +4) = (-3)*1 = - 3 < 0
2₁) a = 1,5 ⇒ D₂ = ( 2*1,5 -1 )( 2*1,5³ -1,5² +4) = 2*[1,5²(2*1,5 -1) +4]=17 > 0 .