Написать уравнение касательной и нормали к кривой x^3+y^2+2x-6 в точке с ординатой y0=3

Касательная - прямая, которая касается к кривой в точке (x₀;3), где x₀ - абсцисса касания. Подставим координаты точки касания в заданное уравнение кривой

$x_0^3+3^2+2x_0-6=0\\x_0^3+2x_0+3=0$

Путем подбора $x_0=-1$ , уравнение имеет единственный корень, так как функция, соответствующая данному уравнению, является монотонной.

(-1;3) - точка касания касательной.

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{\cfrac{\partial}{\partial x}\left(x^3+y^2+2x-6\right)}{\cfrac{\partial}{\partial y}\left(x^3+y^2+2x-6\right)}=-\frac{3x^2+2}{2y}$