Евгений Дога родился 1 марта 1937 года в селе Мокра Рыбницкого района, ныне территория непризнанной Приднестровской Молдавской Республики.
Отец погиб на войне. Будучи ещё малолетним, любил слушать сельский оркестр, пытался что-то придумывать для него.
После окончания семилетней школы отправился в Кишинёв, где с 1951 по 1955 год обучался в Музыкальном училище имени Штефана Няги (ныне Музыкальный колледж имени Штефана Няги) по классу виолончели. Его приняли в училище несмотря на полное отсутствие предварительной подготовки.
В 1960 году окончил Кишинёвскую консерваторию им. Г. Музическу (ныне Академия музыки, театра и изобразительных искусств) по классу виолончели у Г. С. Хохлова, в 1965 — по классу композиции у С. М. Лобеля и М. Р. Копытмана.
В 1957—1962 годах — артист оркестра Молдавского радио и телевидения. Параллельно с учёбой занимался оркестровкой сочинений молдавских композиторов и полупрофессионалов, а также классиков, таких как Э. Григ, Д. Шостакович и А. Хачатурян. Карьере музыканта помешал паралич левой руки.
1 января 1957 года впервые его произведение «Новогодняя песня» (Cântec de anul nou) была исполнена на молдавском радио детским хором и оркестром под управлением Ш. Аранова. Осенью того же года его однокурсница, будущая оперная примадонна Мария Биешу дебютировала с его песней «Белый цветок сада» (Floare dalbă de liadă) на молдавском телевидении. В 1963 году пишет свой первый струнный квартет.
После окончания консерватории два года не писал музыку, увлёкся теорией музыки, написал и издал учебник для студентов.
В 1962—1967 годах преподавал композицию в Музыкальном училище им. Ш. Няги, а в Музыкальном училище им. Е. Коки — теорию музыки. В эти же годы работал музыкальным редактором в издательстве «Книга Молдовы» (Кишинёв). Член КПСС с 1976 года.
Кроме композиторского творчества постоянно занимается концертной и общественной деятельностью.
Всемирная организация интеллектуальной собственности (Женева) в знак признания его выдающихся достижений в музыке наградила специальным сертификатом в 2007 году.