Номер 1.
![\sqrt[3]{x(x+6)}=x\\\sqrt[3]{x^{2}+6x}=x\\x^{2}+6x=x^{3}\\x^{2}+6x-x^{3}=0\\x(x+6-x^{2})=0\\x(-x^{2}+x+6)=0\\x(-x^{2}+3x-2x+6)=0\\x(-x(x-3)-2(x-3))=0\\x(-x-2)(x-3)=0\\x_{1}=0\\-x-2=0\\-x=2\\x_{2}=-2\\x-3=0\\x_{3}=3\\x_{1}=0,x_{2}=-2,x_{3}=3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%28x%2B6%29%7D%3Dx%5C%5C%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E%7B2%7D%2B6x%7D%3Dx%5C%5Cx%5E%7B2%7D%2B6x%3Dx%5E%7B3%7D%5C%5Cx%5E%7B2%7D%2B6x-x%5E%7B3%7D%3D0%5C%5Cx%28x%2B6-x%5E%7B2%7D%29%3D0%5C%5Cx%28-x%5E%7B2%7D%2Bx%2B6%29%3D0%5C%5Cx%28-x%5E%7B2%7D%2B3x-2x%2B6%29%3D0%5C%5Cx%28-x%28x-3%29-2%28x-3%29%29%3D0%5C%5Cx%28-x-2%29%28x-3%29%3D0%5C%5Cx_%7B1%7D%3D0%5C%5C-x-2%3D0%5C%5C-x%3D2%5C%5Cx_%7B2%7D%3D-2%5C%5Cx-3%3D0%5C%5Cx_%7B3%7D%3D3%5C%5Cx_%7B1%7D%3D0%2Cx_%7B2%7D%3D-2%2Cx_%7B3%7D%3D3 "\sqrt[3]{x(x+6)}=x\\\sqrt[3]{x^{2}+6x}=x\\x^{2}+6x=x^{3}\\x^{2}+6x-x^{3}=0\\x(x+6-x^{2})=0\\x(-x^{2}+x+6)=0\\x(-x^{2}+3x-2x+6)=0\\x(-x(x-3)-2(x-3))=0\\x(-x-2)(x-3)=0\\x_{1}=0\\-x-2=0\\-x=2\\x_{2}=-2\\x-3=0\\x_{3}=3\\x_{1}=0,x_{2}=-2,x_{3}=3")
Номер 2.
ОДЗ:
Корень с четным показателем всегда положителен или равен 0 ⇒ x ∈ ∅
Номер 3.
ОДЗ:
![x^{2}-7\geq0\\x^{2}\geq7\\|x|\geq\sqrt{7}\\x\in(-\infty;-\sqrt{7}]\cup[\sqrt{7};+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D-7%5Cgeq0%5C%5Cx%5E%7B2%7D%5Cgeq7%5C%5C%7Cx%7C%5Cgeq%5Csqrt%7B7%7D%5C%5Cx%5Cin%28-%5Cinfty%3B-%5Csqrt%7B7%7D%5D%5Ccup%5B%5Csqrt%7B7%7D%3B%2B%5Cinfty%29 "x^{2}-7\geq0\\x^{2}\geq7\\|x|\geq\sqrt{7}\\x\in(-\infty;-\sqrt{7}]\cup[\sqrt{7};+\infty)")
Номер 4.
ОДЗ:
Номер 5.
2x-1" alt="\sqrt{x^{2}+5x}+1>2x-1" align="absmiddle" class="latex-formula">
ОДЗ:
Решаем совокупность систем [...
![\left\{\begin{matrix}x\geq0\\ x+5\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\leq0\\ x+5\leq0\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}x\geq0\\ x\geq-5\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\leq0\\ x\leq-5\end{matrix}\right.\\\\x\in[0;+\infty)\\x\in(-\infty;-5]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5Cgeq0%5C%5C%20x%2B5%5Cgeq0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5Cleq0%5C%5C%20x%2B5%5Cleq0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%5C%5C%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5Cgeq0%5C%5C%20x%5Cgeq-5%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5Cleq0%5C%5C%20x%5Cleq-5%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%5C%5Cx%5Cin%5B0%3B%2B%5Cinfty%29%5C%5Cx%5Cin%28-%5Cinfty%3B-5%5D "\left\{\begin{matrix}x\geq0\\ x+5\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\leq0\\ x+5\leq0\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}x\geq0\\ x\geq-5\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\leq0\\ x\leq-5\end{matrix}\right.\\\\x\in[0;+\infty)\\x\in(-\infty;-5]")
ОДЗ: ![x\in(-\infty;-5]\cup[0;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5Cin%28-%5Cinfty%3B-5%5D%5Ccup%5B0%3B%2B%5Cinfty%29 "x\in(-\infty;-5]\cup[0;+\infty)")
2x-1-1\\\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2" alt="\sqrt{x^{2}+5x}>2x-1-1\\\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2" align="absmiddle" class="latex-formula">
Здесь возможны два случая:
2x-2,2x-2\geq0\\\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2,2x-2<0" alt="\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2,2x-2\geq0\\\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2,2x-2<0" align="absmiddle" class="latex-formula">
Решим относительно первого случая:
2x-2\\x^{2}+5x>(2x-2)^{2}\\x^{2}+5x>4x^{2}-8x+4\\x^{2}+5x-4x^{2}+8x-4>0\\-3x^{2}+13x-4>0\\-3x^{2}+12x+x-4>0\\-3x(x-4)+(x-4)>0\\(x-4)(-3x+1)>0" alt="\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2\\x^{2}+5x>(2x-2)^{2}\\x^{2}+5x>4x^{2}-8x+4\\x^{2}+5x-4x^{2}+8x-4>0\\-3x^{2}+13x-4>0\\-3x^{2}+12x+x-4>0\\-3x(x-4)+(x-4)>0\\(x-4)(-3x+1)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
Решаем совокупность систем [...
0\\ -3x+1>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x-4<0\\ -3x+1<0\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}x>4\\ x<\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<4\\ x>\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\\x\in\O\\x\in(\frac{1}{3};4)\\\\x\in(\frac{1}{3};4)" alt="\left\{\begin{matrix}x-4>0\\ -3x+1>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x-4<0\\ -3x+1<0\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}x>4\\ x<\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<4\\ x>\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\\x\in\O\\x\in(\frac{1}{3};4)\\\\x\in(\frac{1}{3};4)" align="absmiddle" class="latex-formula">
Учитывая, что 2x-2 ≥ 0, находим пересечение:
Решим относительно второго случая:
Поскольку левая часть всегда ≥ 0, утверждение верно для любого значения x ⇒ x ∈ R
Учитывая, что 2x-2 < 0, находим пересечение:
Теперь находим объединение решения первого и второго случаев:
Учитывая ОДЗ, найдем пересечение (т.е. выведем окончательный ответ):
![\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;4)\\ x\in(-\infty;-5]\cup[0;+\infty)\end{matrix}\right.\\x\in(-\infty;-5]\cup[0;4)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5Cin%28-%5Cinfty%3B4%29%5C%5C%20x%5Cin%28-%5Cinfty%3B-5%5D%5Ccup%5B0%3B%2B%5Cinfty%29%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5Cx%5Cin%28-%5Cinfty%3B-5%5D%5Ccup%5B0%3B4%29 "\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;4)\\ x\in(-\infty;-5]\cup[0;+\infty)\end{matrix}\right.\\x\in(-\infty;-5]\cup[0;4)")