Доказать, что данное выражение верно для любого натурального числа n (5 вариант)

Решите задачу:

$\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+...+\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{n}{4(n+4)}\\\\\\\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{A}{n+3}+\frac{B}{n+4}=\frac{A(n+4)+B(n+3)}{(n+3)(n+4)}\; \; \Rightarrow \\\\1=A(n+4)+B(n+3)\; ,\\\\n=-4:\; \; 1=B\cdot (-1)\; ,\; \; \underline {B=-1}\\n=-3:\; \; 1=A\cdot 1\; ,\; \; \underline {A=1}\\\\\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}\\\\\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+...+\frac{1}{(n+3)(n+4)}=(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+...+$

$+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})+(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3})+(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4})=\\\\=\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}=\frac{n+4-4}{4(n+4)}=\frac{n}{4(n+4)}$