Каждой клетки доски размером 9x9 сидит жук.По сигналу каждый жук переползает в одну из...

Question

Каждой клетки доски размером 9x9 сидит жук.По сигналу каждый жук переползает в одну из соседних клеток по диагонали. При этом может оказаться, что в некоторых клетках будет по несколько жуков, а не которые будут свободными.Найдите наименьшее количество свободных жуков.

Answer 1

Покрасим вертикали доски в чёрный и белый цвет через одну. В результате в чёрный цвет будет покрашено  5×9 = 45  клеток (5 вертикалей), а в белый – только 36. Заметим, что с чёрной клетки жук может переползти только на белую, а белой – только на чёрную. Следовательно, после того, как жуки переползли в соседние по диагонали клетки, на 45 чёрных клетках оказалось 36 жуков. Значит, по крайней мере 9 чёрных клеток оказались незанятыми.

Answer 2

Покрасьте вертикали доски в чёрный и белый цвет через одну. Тогда с чёрной клетки жук переползает на белую, а с белой – на чёрную.

Решение

Покрасим вертикали доски в чёрный и белый цвет через одну. В результате в чёрный цвет будет покрашено 5×9 = 45 клеток (5 вертикалей), а в белый – только 36. Заметим, что с чёрной клетки жук может переползти только на белую, а белой – только на чёрную. Следовательно, после того, как жуки переползли в соседние по диагонали клетки, на 45 чёрных клетках оказалось 36 жуков. Значит, по крайней мере 9 чёрных клеток оказались незанятыми.