Дана функция f(x)=x^2-2lnx+3
1)Найти f(e^1/2)
2)Найти интервал возрастания функции f(x)
3)Найти точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках
4)Решить уравнение f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x
Решение:
1) f(e^1/2) =((e^(1/2))^2 - 2*ln(e^(1/2)) + 3=e-2*(1/2)*ln(e) + 3 = e - 1 + 3 = e + 2 ≈ 4,72
2) Интервал возрастания функции f(x)
Функция определена для всех х принадлежащих (0;+бесконечность)
Найдем производную функции
f'(x)= (x^2-2lnx+3)' = 2x-2*(1/x) = 2x-2/x =2(x^2-1)/x
2(x^2-1)/x >0
Так как х>0 то необходимо найти
{x^2-1>0
{x>0
или
{(x-1)(x+1)>0
{x>0
По методом интервалов находим знаки производной
- 0 +
------!----!--------
0 1
Функция возрастает при всех значения
х принадлежащих промежутку (1;+ бесконечность)
3)Точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках
Производная меняет знак в точке х=1 с минуса(убывание) на плюс(возрастание)
Поэтому в этой точке функция f(x) имеет минимум
f(1)min = 1^2-2ln(1)+3 =1-2*0+3 =4
4)Решим уравнение f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x
f(x)=g(x)
x^2-2ln(x)+3 = x^2+ln^2(x)
ln^2(x)+2ln(x) -3=0
Замена переменных
y = ln(x)
y^2+2y+3=0
D =4 +4*3 = 16
y1 = (-2-4)/2 =-3
y2 = (-2+4)/2 =1
Находим значения х
При y1 = -3
ln(x) =-3
x1 = e^(-3)
При y2=1
ln(x)=1
x2 = e