Есть равнобедренный треугольник с вписаной окружностью центр которой делит высоту...

Обозначим точки касания окружности с боковыми сторонами как K и L
BH-высота , она же и медиана так как треугольник по условию равнобедренный , следовательно AC=2AH
Так как BK,BL касательные проведенные с одной вершины В то они равны !
По теореме о секущей $BK=\sqrt{BF*BH}=\sqrt{(5-3)*8}=4\\ BL=4$
так как OH радиус, то OK тоже радиус, в прямоугольном треугольнике BKO, найдем угол OBK, по теореме косинусов
$3^2=4^2+5^2-2*4*5*cosKBO\\ cosKBO=\frac{4}{5}\\$
теперь обозначим AK=LC=x , так как они боковые стороны равны !
то угол $ABC=2 ABH$ , то
$ABH=a\\ cosa=\frac{4}{5}\\ a=arccos\frac{4}{5}\\ cos(2arccos\frac{4}{5})=2cos^2(arccos\frac{4}{5})-1=\frac{32}{25}-1= \frac{7}{25}\\$

Теперь воспользуемся тем что AC=2AH
$AH=\sqrt{(4+x)^2+64-16(4+x)*\frac{4}{5}}\\ AC=\sqrt{2*(4+x)^2-2(4+x)^2*\frac{7}{25}}\\ 2*\sqrt{(4+x)^2+64-16(4+x)*\frac{4}{5}}= \sqrt{2*(4+x)^2-2(4+x)^2*\frac{7}{25}}\\ x=6$

Отудого AK=6, то AH=6
и того AC=12 , AB=BC=10