1. a)
x³-9x=0
x*(x²-9)=0
x*(x-3)*(x+3)=0
Ответ: x₁=0 x₂=-3 x₃=3.
б)
x⁴-11x²+18=0
Пусть x²=t>0 ⇒
t²-11t+18=0 D=49 √D=7
t₁=x²=9 x₁=3 x₂=-3.
t₂=x²=2 x₃=√2 x₄=-√2.
2. x⁷+3x⁵+5x³=9
Функции y=x⁷, y=3x⁵, y=5x³ - возрастающие ⇒ они пересекаются в одной точке, ⇒ получается одно решение. Сумма коэффициентов этих функций равна 1+3+5=9. ⇒
Ответ: x=1.
3. x³+5x-1=0
По теореме Безу (разложение многочлена на множители), свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми корнями.
То есть, целыми корнями могу быть x=1 и x=-1:
1³+5*1-1=1+5-1=5≠0
(-1)³+5*(-1)-1=-1-5-1=-7≠0.
Ответ: уравнение не имеет целых корней.
4. x³+6x²+5x-12=0
x³+6x²+9x-4x-12=0
x*(x²+6x+9)-4*(x+3)=0
x*(x+3)²-4*(x+3)=0
(x+3)*(x*(x+3)-4)=0
x+3=0
x₁=-3
x*(x+3)-4)=0
x²+3x-4=0 D=25 √D=5
x₂=1 x₃=-4.
Ответ: x₁=-3 x₂=1 x₃=-4.
5.
(2/(x+3))+(10/(x²+x-6))=3/(x²-2x)
ОДЗ: x²+x-6≠0 (x+3)(x-2)≠0 x₁≠-3 x₂≠2 x≠0.
(2/(x+3))+10/((x+3)(x-2))=3/(x*(x-2))
2*x*(x-2)+10*x=3*(x+3)
2x²-4x+10x=3x+9
2x²+3x-9=0 D=81 √D=9
x₁=-3 ∉ОДЗ x₂=1,5 ∈ОДЗ.
Ответ: x=1,5.