Два действительных корня, значит x₁≠x₂ и 16a²-20a>0;
4a²-5a>0;
a(4a-5)>0;
нули функции 0; 4a>5; a>1,25;
+ - +
___0___1,25___
-∞1,25;
сумма квадратов которых равна 6: x₁²+x₂²=6; (1)
По теореме Виетта:
x₁+x₂=-p=4a;(2)
x₁x₂=q=5a;(3)
Эти три уравнения составляют систему.
сложим (2) и дважды (3).
Возведем в квадрат (2)
(x₁+x₂)²=(4a)²;
x₁²+2x₁x₂+x₂²=16a²; отнимем дважды (3);
x₁²+2x₁x₂+x₂²-2x₁x₂=16a²-2*5a;
x₁²+x₂²=16a²-10a; подставим вместо левой части уравнение (1).
6=16a²-10a; разделим на 2;
8a²-5a-3=0;
D=25+4*8*3=121;
a₁=(5+11)/16=1;∅, по ОДЗ a.
a₂=(5-11)/16=-3/8;
Проверка:
x²+1,5x-1,875=0;
8x²+12x-15=0;
D=144+4*8*15=624=16*39;
x₁=(-12+4√39)/16=-0,75+0,25√39;
x₂=(-12-4√39)/16=-0,75-0,25√39;
Подставим в формулы (2) и (3):
x₁+x₂=4a; -0,75+0,25√39-0,75-0,25√39=-4*3/8; -1,5=-1,5;
x₁x₂=5a; (-0,75+0,25√39)(-0,75-0,25√39)=-5*3/8;
0,75²-(0,25√39)²=-15/8;
0,5625-0,0625*39=-1,875;
-1,875=-1,875;
Ответ: a=-3/8;