Карл Фридрих Гаусс упомянут в данной задаче не случайно.
Решение основано на его методе - подбор пар чисел с одинаковым значением суммы.
N = 15
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15
Сумма крайних чисел 1 + 15 = 16, далее, сдвигаясь к середине, 2 + 14 = 16; 3 + 13 = 16 и т.д.
Но у нас нечетное число чисел, поэтому мы можем получить последнюю, седьмую, пару 7 + 9 = 16, а число 8 останется без пары. Однако, учитывая, что 16 : 2 = 8, из суммы каждой пары можно получить две полупары.
Т.е. сумма будет складываться из 14 полупар и равного по значению полупаре числу 8, значит,. 7*2+1 = 15 раз в сумме повторится число 8.
Сумма равна 8*15. Но мы можем рассмотреть это произведение, как 8 раз суммированное число 15.
Если 8 : 2 = 4 раза перед числами, дающими в сумме 15, поставить знаки +, а перед другими, дающими в сумме, 15 знаки - , то мы получим 0
+1+2+3+4-5-6-7-8-9-10+11+12+13+14-15 = 0
Итого: 4+; 6-; 4+; 1-
Ответ: + + + + - - - - - - + + + + -
N = 40
Здесь сумма должна состоять из (40:2)*(1+40), т.е. если 10 раз перед каждой каждой парой чисел поставить +, а 10 раз - (всего двадцать плюсов и двадцать минусов), то сумма будет равна 0
+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40 = 0
Итого: 10+; 20-; 10+
Ответ: + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + +
N = 99
Здесь число чисел нечетное. Аналогично N=15, к 99 прибавляем (98/2)=49 пар, дающих в сумме 99. Или сумму можно представить, как 50 * 99. Значит, 24 парами чисел, сумма которых равна 99 должен быть +, перед другими 24 парами - . Последняя пара должна иметь знак, противоположный знаку числа 99
+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-40-41-42-43-44-45-46-47-48-49-50-51-52-53-54-55-56-57-58-59-60-61-62-63-64-65-66-67-68-69-70-71-72-73-74+75+76+77+78+79+80+81+82+83+84+85+86+87+88+89+90+91+92+93+94+95+96+97+98+99 = 0
Итого: 24+; 50-; 25+;
Ответ: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +